冷原子:也从温水煮青蛙说起–物理学中的绝热近似

首先,感谢村长的大作橡树村:【原创】温水煮青蛙。我觉得这种“用严肃的方法研究有趣的问题”的作品,正是一个高品质的论坛所需要的。

温水煮青蛙这个寓言,如同村长所说,通常用来表达这样的含义。就是说生活中,如果一些变化发生的很突然,人们往往无法适应,可能会做出激烈的反映,比如暴怒,狂喜等等。反过来,如果发生的很缓慢,那么人们可能就在不知不觉中适应了。比如热恋中的两个人,其中一方想分手。这时候如果忽然提出分手,对方多半会激烈的反弹。反过来如果想分手的一方慢慢疏远对方,可能当摊牌的时候,对方就能平静的接受现实了。

我不是搞生物的,所以没研究过温水能不能真的不知不觉中把青蛙煮死。不过在物理中,确实有一个跟这个寓言内涵相同的规律,这就是在量子物理学中被广泛使用的量子绝热定理。

量子绝热定理的含义,简单的说是这样的。就是说如果一个体系,一开始处在能量最低的状态,那么当这个体系所处的环境,(或者准确的说,哈密顿量),缓慢的发生变化的时候,一般来讲,这个时候体系的状态会跟着变。而且,会从能量最低的状态,变到其他状态去。但是呢,如果这个体系所处的环境,变化的十分缓慢,也就是“绝热的变化”,这个时候,这个体系就会慢慢适应外部环境的变化,每时每刻都几乎保持在那个时刻能量最低的状态上,而不会向其他状态跃迁。

以上是非常粗糙的描述。细致的讲述这个定理,需要一些量子力学的专门知识,这里面我们就不赘述了。需要说的是,刚才讲的“能量最低的状态”,不是一个必要的条件,而是我们为了陈述清楚而使用的特例。事实上,如果体系一开始处在“能量第二低的状态”,然后外部环境缓慢的变化,那么体系也会被时时刻刻维持在那个时刻的“能量第二低的状态”上的。以此类推。

这个定理是不是有点儿跟温水煮青蛙神似?举个例子来说,如果我们把一个人的状态抽象成两个,一个是能量低的状态,“平静”,另一个是能量高的状态,“狂喜”,把工资当作体系的外界参数(哈密顿量的参数)。这时候人对“涨工资”这个外界变化的反应,就变成了一个量子绝热定理的实例:当如果一开始人的月薪是一万,人的状态是“平静”,外界变化迅速发生,工资一个月之内涨到三万,那么这个变化会把人激发到“狂喜”,反过来,如果工资变化的很缓慢,每个月涨工资1500,将近两年涨到三万,那么这时候人会总是保持在“平静”这个低能量的状态。尽管这时候已经从月薪一万的“平静”,变成了月薪三万的“平静”了。当然实际上每个月涨1500的话,人肯定是要小高兴一下的,但是高兴的程度,肯定到不了一下子涨到三万的这种狂喜状态。

在量子绝热定理里面,体系外部环境(哈密顿量)变化的速度,是个关键。因为根据这个定理,“体系每时每刻都几乎保持在那个时刻能量最低的状态上,而不会向其他状态跃迁”这句话中的那个“几乎”很重要。就是说体系总有一些概率会跑到别的状态去。不过可以证明,外部环境变化(哈密顿量)的越慢,体系跑出去的概率就越小。这就跟村长说的,加热速度很缓慢的时候,青蛙真的会被煮死一样。

当然,煮青蛙的生物学实验,并不能用量子绝热定理这么简单的解释,因为青蛙是个极其复杂的生物学系统。我想说的是,量子绝热定理其实可以作为“温水煮青蛙”这个寓言的一个物理学版本。而且这个版本的严格性是可以通过数学证明的,毋庸置疑。当然,目前毕竟熟悉量子力学人比较少,所以这个版本难以流传。

量子绝热定理在量子物理学中具有广泛的应用。比如说,目前超冷原子物理研究的热点之一,就是如何把超冷原子变成超冷分子。目前人们采用的方案,就部分的基于绝热定理。这个方案大体上说,是用激光来和原子发生相互作用,充当前面说的那个“外部环境”。刚开始的时候,激光被设定在一个强度,整个体系能量最低的状态,就是两个超冷原子自由运动的状态。然后慢慢的把激光的强度调节到一个新的值上去,在这个值上,能量最低的状态是两个原子结合成分子的状态。如果这个激光强度调节的速度足够慢,那么原子就会每时每刻保持在这个时刻能量最低的状态,于是乎就从自由运动的状态变成了分子的状态。看看,这不等于发明了一种新的人工控制的化学反应吗?
目前世界上有很多实验小组正在努力高质量的,完美的实现这个过程。

简要回顾一下这个量子绝热定理的发展,是个有趣的事情。因为它涉及到了很多物理学史上著名的人和事儿。

要谈量子绝热定理,还要先从经典绝热定理说起。实际上,生活中有很多受经典力学支配的物理现象,跟这个量子绝热定理描述的事情很类似。最典型的例子,就是我们端着一杯快满的热水走路,如果走得快了,或者准确的说,速度变化的太快了,这时候水肯定会洒出来。如果慢慢走,一小步一小步往前蹭,这时候水在杯子里充其量小幅度晃荡两下,却不会洒出来。

尽管有这么多物理现象作为基础,但是在经典力学中,对这个“绝热现象”的研究,却一直到20世纪初期才开始被人关注。经典绝热定理的鼻祖,可能应该算是爱因斯坦。在1911年举行的第一届索尔维会议上,洛仑兹(应该就是那个著名的洛仑兹)提出了一个问题,就是说一个单摆,如果摆长被缓慢的缩短,那么它的运动是什么样子的?爱因斯坦当场就给出了答案。并且指出,如果摆长缩短的足够“缓慢”,那么尽管单摆每时每刻的能量和频率都在发生变化,可是这二者的比值却是一个常数。这里我们确实要佩服一下爱因斯坦深厚的功底和良好的感觉。这可能是人们对经典物理中绝热演化研究的开端。而爱因斯坦的推导,其实已经包含了经典绝热定理所有要素。

在1911年到1916年之间,荷兰科学家艾伦菲斯特对经典绝热定理在旧量子论中的应用,做了系统的研究。他利用经典绝热定理说明,如果波尔的量子论对一个体系适用,那么当这个体系的参数发生变化的时候,量子论对这个变化后的体系仍然适用。这就大大拓展了老量子论的范围。

19世纪末20世纪初,荷兰出现了一批杰出的物理学家,比如洛仑兹,塞曼,发现超导的昂尼斯等等。艾伦菲斯特是这个群体中具有悲剧色彩的一位。他的老师就是著名的奥地利物理学家,统计物理学的一代宗师玻尔兹曼。玻尔兹曼因为自己的学说不被接受而悬梁自尽。若干年后,艾伦菲斯特也因为(据说)反对纳粹而自尽。这是一对不幸的师生。

量子力学诞生以后,德国科学家波恩和苏联科学家福克把经典绝热定理彻底推广到了量子力学,量子绝热定理从此诞生。波恩是量子力学的奠基者之一,因为提出量子力学的几率解释而获得了诺贝尔奖。波恩是那一代物理学泰斗中中国学生比较多的一位。他指导过的中国学生或者博士后中,比较杰出的就有两弹元勋彭桓武先生,程开甲先生以及我国固体物理学的奠基人黄昆先生。波恩在物理学上贡献很多,其中之一是所谓的“波恩-卡曼”边界条件,这个“卡曼”不是别人,就是后来钱学森的老师,空气动力学大师冯.卡门。

量子绝热定理的正确性,可以用微扰论的方法加以说明。但是严格的证明却不容易找到。我所知道的的最早关于这个定理的比较严格的证明,是Kato在1950年给出的(J.Kato, J.Phus.Soc.Jap,5, 435 (1950).)。而教科书中对量子绝热定理的阐述,往往都用微扰论而不做严格的证明。我见到的严格证明绝热定理的教科书,只有日本物理学奖,诺贝尔奖得主汤川秀树主编的《量子力学》。有趣的是,这本量子力学只有中译本,却没有英译本(至少我没听说有)。

量子绝热定理自从诞生起,就被人们在量子物理中广泛应用。但是,1984年,英国物理学家Berry指出,过去对量子绝热定理的使用中,大多数时候,漏掉了一个相位因子。据说在Berry之前已经有人指出过这个位相因子了,但是没有引起人们的注意。总之,从Berry开始这个因子得到了广泛的关注,并且以Berry的名字命名。人们关心这个因子的原因,在于这个因子是“几何”的,它和外界参数变化的速度细节无关,只和外界参数在变化过程中曾经取过哪些值有关。而Berry相因子的数学结构也非常简洁漂亮,它可以用微分几何中的纤维丛来描述。

在Berry提出这个位相因子之后,英国物理学家Hanny把这个因子推广到了经典绝热定理。你看,绝热定理本身的发展,是先有经典的,再有量子的。而绝热定理连带的相因子,确实先发现量子的,再推广到经典。人们很快发现,原来经典力学中出名的傅科摆,跟这件事情有联系。

傅科当年弄了一个很长的摆,下面放了个沙盘。摆上的重锤每摆次一次,都在沙盘上留下一条线。这条线就和摆所在的平面平行。然后人们发现,在摆动的过程中,沙盘上的这条线慢慢的旋转出了一个角度,也就是单摆所在的平面在慢慢变化。没人去干扰这个单摆,这个摆平面的变化完全是自发的。经典力学可以证明,地球的自转可以造成这个变化。理论计算的旋转角度和实验结果吻合,这个实验间接的证明了地球的自转。

1984年人们才发现,这个经典力学中著名的实验竟然可以跟绝热近似的几何相因子联系上。这里面的参数就是地球。地球自转的频率比单摆的频率低得多,所以这个参数的变化是“缓慢”的,我们可以用绝热近似。而与之对应的几何相因子,就是傅科摆平面转动的角度。

通常说的量子绝热定理,这个体系满足量子力学,缓慢变化的环境参数则是实现定好了的。而实际上,外界环境也满足量子力学,环境和体系是互动的,相互影响。如果把外界环境的量子效应,以及体系对环境的反作用也考虑进去,这个绝热过程该如何描述呢?这就是著名的波恩-奥本海默近似。这个近似是波恩和奥本海默共同提出的。奥本海默就是美国的那位原子弹之父。当年奥本海默在德国师从波恩学物理。据说奥本海默从小绝顶聪明,所以在波恩手下的时候多少有些桀骜不驯。据说波恩的其他学生们曾经联名向波恩抗议奥本海默的骄傲。波恩奥本海默近似应该是奥本海默在波恩那里做的最重要的事儿了。这个近似的应用也很广泛。化学中的共价键的物理基础就是这个近似。

刚才反复的说,绝热定理的基础在于参数缓慢的变化。那么如果参数变化的稍微快一点点呢?这个时候体系就有一定的概率跳到别的状态了。这个概率的计算也是量子物理学中一个有趣的问题。最早这方面的研究,是英国物理学家Zener和苏联物理学家,诺贝尔奖得主朗道各自独立的完成的。他们用了两种方法得出了同样的公式,成为朗道-Zener公式。Zener的文章能找到,也不难读懂。但是朗道的文章我一直没找到。朗道著名的教科书中关于这个内容有一节论述,但是我从未搞懂过。此外,朗道还在他的另一项重要的工作–朗道费米流体理论中,使用绝热近似对这个理论的正确性进行了定性的说明。他的这个思路,和前面说的艾伦菲斯特利用经典绝热定理论述老量子论适用范围的思路差不多。

最后说说“绝热”这两个字。在统计物理学中,绝热指的是没有热交换的过程。这种过程体系的熵不变。体系在不同能量状态上的粒子数也不变。这个统计力学中的“绝热过程”和刚才说的“量子绝热定理”,一直是各自独立的被研究。因为他们针对的体系和演化特点还是有差别的。但是近年来兴起的量子热力学的研究中,却发现在量子热力学的层面上,这两个“绝热”是存在一定联系的。

最后讲一句,尽管在刚才的叙述中,我们看到很多重量级的诺贝尔物理学奖得主都做过和绝热近似相关的工作。但是到目前为止,还没有人因为绝热定理的研究而得诺贝尔奖。这大概是因为绝热定理虽然重要,但是毕竟还是比较简单。据说由于Berry位相因子的重要性,杨振宁曾三次推荐Berry拿诺贝尔奖。如果能成功的话,这应该是第一个直接由绝热定理相关的工作而产生的诺贝尔奖。但是事实上,至今Berry还没拿到这个奖。以后如何,我们拭目以待吧。

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